Praktische Astronomie 2 - SPACEGLOBE Astronomie Kurse

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Astronomie
Praktische Astronomie 2


ASTROGRAPH I - Fotografische Ortsbestimmung auf kleinmaßstäbigen Feldsternaufnahmen mit DSLR Kamera (Canon EOS  o .ä.)

Für Liebhaber und Fotografen der Natur- und Sternkunde die stolzer Besitzer einer DSLR-Fotoausrüstung sind, ist es sicher reizvoll die Aufnahmen des Sternenhimmels auch auswerten zu können als messender Amateurtastronom mehr aus dem Bildinformationen herauszuholen.
Sofern man zu den Glücklichen zählt die einen von etwa jedes Jahr 9 im Sonnensystem neu auftauchenden Kometen begrüßen können, möchten diese sicher erfahren, welchen exakten Bahnverlauf dieser neue Himmelsköper in unserem Sonnensystem unter den Sternen einnehmen wird, deren Nebelkern des Protoplasmaplaneten im Schnittpunkt der Konvergenz von Lichtrahlen mehrerer Sterne kondensieren und geboren werden , deren Aufgabe es ist allte Planeten die in ihrer Sonne verglühen zu ersetzen, da die Planeten sich in unendlichen langen Kreisläufen auf Spiralbahnen um die Sonne bewegeun und ihr Zentralgestirn daher nicht überleben können, welche Umlaufzeit, Verlauf der Helligket, Länge des Schweifes und zu welchem Zeitpunkt dieser wiederkehrt oder schon von großen Planeten gemaßregelt in die Bahn eines Planeten oder Mondes übergeht. Von jährl. 9 entdeckten Kometen sind ewta 3 alte Bekannte.  
Hierfür genügen 3 mit der DSLR und Teleobjektiv gewonnenen Aufnahmen des Himmelskörpers.
Die im Anschluss an die Vermessung von 3 Aufnahmen abgeleiteten oskulierenden Bahnelemente erlauben unter Einbeziehung der Bahnstörungen, die alle Planeten und die Sonne auf den Himmelskörper ausüben, sobald dieser dem Jupiter, Saturn oder Uranos nahe kommen, auch noch nach vielen Jahren die Position des Kometen im Teleskop exakt an den Teilkreisen einstellen und wiederfinden zu können.  
Hier lohnt es sich bei spaceglobe.de den Kursus zu belegen >Wie werde ich ein erfolgreicher Kometenjäger<. Ein guter fotografischer Himmelsatlas wie der Atlas Stellarum, der alle Sterne und Nebel bis zu einer Grenzgröße von 14 mag enthält, ist eine ausgezeichnete Voraussetzung anhand dieses Vergleichsmaterial mittels Blinkkomparator neue Gestirne aufzuspüren. Konnte man ein verdächtig bewegendes, nebulöses  Objekt finden, das in der Sternkarte nicht verzeichnet ist, sollte sich die Priorität der Entdeckung mittels Telegramm oder Fax direkt an die IAU oder nächste größere anerkannte Universitäts-Sternwarte sichern. Das Fax sollte Name und Anschrift enthalten und ein kurze Notiz >Kometen-verdächtiges Objekt bei (beispielsweise) RA 23h15m, Dek. +45°32', ca. 11 mag.<
Sollte sich vor Absendung des Fax kein anderer Beobachter gemeldet haben, erhält das Gestirn statt einer Registrationsnummer den persönlichen Familiennamen des Erstentdeckers. Solten unmittelbar mit dem eigenen Fax noch weitere Meldungen eingehen, erhält das neue Objekt zumeist ein Doppel- oder Dreifach-Namen des ersten, zweiten und dritten unmittelbaren Entdeckers.
Ein Fernglas mit mindestens 80-100 mm Öffnung erleichtert das visuelle Aufspüren in der Abend- und Morgendämmerung. Das CELESTRON 20 X 80 SKYMASTER FERNGLAS oder Omegon Fernglas 20 x 80 Nightstar ist mit rund 160-170 Euro preiswert. Das Ormegon 25 x 100 mm Nightsr schlägt schon mit dem doppelten Preis zu Buche - eine Anschaffung die sich lohnt.    

Für einen guten fotografischen Sternatlas war früher noch über 200 DM hinzublättern. Der fotografische Atlas Stellarum enthält alle Himmelsobjekte bis zur Grenzgröße 14 mag auf 450 Kartenblättern im Format 36x37 cm im Maßstab 1' Bogenminute = 2 mm (Feldgröße ausgedruckt 33x33 cm) und ist heute auf DVD-ROM als digitale Biilddateien für etwa 29 EUR erhältlich.
Zusätzlich ist auf der bei http://www.stellarum.de/GERMAN/index.htm erhältlichen DVD-ROM der fotografische Falkauer Atlas (Maßstab  1 mm = 4' Bogenminuten) bis zur Grenzgröße 13 mag auf 428 Kartenblätter (Feldgröße 18x18 cm), der Atlas of Selected Areas und Atlas of Galatic Nebulae vorhanden. Dieser enthält alle galatkischen Nebel bis zur Grenzgröße 21 mag die mit einem Kometen verwechselt werden könnten. Der Kometenjäger verfügt damit über das beste, erfolgversprechende Equipment. Der USNO-SA1.0 catalog umfasst 50 000 0000 Sterne  mit Grenzgrößen 17 bis 25 mag di noch viel weiter in das All dringen als der Atlas Stellarum mit etwa 14 mag.  
Um auf den Karten bei der Identifizierung von Himmelsköper Platten- oder Kornfehler, Fehldruck-Mängel des Druckverfahren, Staubpartikel usw. auszuschließem, sind stets zwei fotografische Atlanten heranzuziehen die eindeutige Identifizierung von Himmelskörper zu ermöglichen. Der auf der DVD-Rom zusätzlich enthaltene Falkauer Atlas ist daher eine hervorragende Ergänzung zu dem Altlas Stellarum. Einer Sternwarte diffuse Refexionen von Linsen des Teleobjektiv zu melden wäre sicher für jeden Amateuer peinlich.    
   
Bahnbstimmung.

Direkte  mikrometrische Messungen der durch ein Fernrohr vergrößerten Winkel sind zeitlich schnell veränderlich, zudem stark von der Kondition und  Konzentrationsfähigkeit des Beobachters abhängig, während Fotografien diese für das ganze Bild ein für allemal dokumentieren, wobei die Aufnahme sich in aller Ruhe am Schreitisch und Personalcomputer ausmessen lassen. Die durch Ausmessung von Fotografien gewonnenen Resultate sind daher meist genauer. Gegenüber der unmittelbaren visuellen Messung besitzt die längere Zeit belichtete Aufnahme jedoch den Nachteil der aufsummierten Luftunruhe (Szintillationseffekte), wodurch z. B. feine planetare Oberflächendetails meist so verwischt werden, daß die Ausmessung am Mikrometerokular eines Mikroskops (oder bit- bzw. pixelrasterweise am Computer) keinen Gewinn mehr erbringen. Das Herausrechnen von Rauschanteile durch Bildbearbeitungsprogramme verbietet sich zumindest bei astrometrischen Messungen. Die direkte Bebonachtung des mit bloßem Auge direkt messenden Amateur durch das Telskop ist z. B. bei Beobachtung und Messung planetographischer Details auf den Planeten Mars, Jupiter genauer als evlt. mittels Bildverarebitungsprogramem gestackte, gemittelte und geschäfte Masterbild aus Serienbilder.
Die durch Luftunruhe verursachten Ortsschwankungen der Sterne erreichen meist 0.1'' bis zu einigen Bogensekunden. Bei Sternenfeldaufnahmen liegen  die Primärbrennweiten allerdings zwischen 50-1000 mm, so dass die Ortsschwankung hier 120'' und 6'' erreichen müßten, um auf der Bildeben von Analog- oder Sensorkameras registriert zu werden. Für die Bahnbestimmung eines Erdsatelliten, Planeten, Planetoiden oder Kometen sind mindestens 3 genaue Positionen des Objekts in Rektaszension und Deklination an verschiedenen nicht nahe beieionandeliegende Kalendertagen verforderlich.
Das  Sternenumfeld des Objekts wird durch ein Teleobjektiv, zumeist eine am Okularstutzen des Teleskops angeschraubte Spiegelreflexkamera oder CCD-Astrokamera,  aufgenommen und am Schreibtisch bzw. Computer ausgemessen. Eine 24x36 mm2 Kleinbildaufnahme bildet bei F=1000 mm Brennweite eine rechteckige Himmelsfläche von 2.1 x 1.4 Grad ab (= 36 mm/1000 mm * 57.29578), wobei ein runder Fernrohrtubus das Bildfeld entsprechend modifizieren kann. Da bei eingeschränktem Bildfeld weniger bekannte Anschlußsterne  vorhanden sind, vermeidet man i.A. sehr lange Brennweiten.                 
Infolge des Himmelumschwungs bewegt sich ein Stern um 15.04107'' * cos d (d  Deklination des Sterns) pro Sonnenzeitsekunden. Bei  F=1000 mm Brennweite der Optik, entspricht 1'' (Winkelbogensekunde) am  Himmel linear 0.00485 mm auf dem Film ([= 1'' * F 1000  mm)/206264.8906''].
Ein Stern mit der Deklination -15.3° (Plattenmitte) bildet demnach auf der Aufnahme [(F=1000 mm) 0.0048 mm * 15.04'' * cos d -15.3;(248); =] eine Spur von 0.07 mm Länge pro Zeitsekunden. Das  Auflösungsvermögen der Photoemulsion liegt bei 0.025 mm, das eines CMOS Chip bei 0.004 mm.  Ab (0.03  mm/0.07 mm =) 0.4 Sek. Belichtungszeit wird ein Stern somit nicht mehr punktförmig, sondern als Strichspur abgebildet. Um punktförmige Sternabbildungen bei langen Brennweiten zu erhalten, ist das Objekt der täglichen Himmelsumdrehung durch einen elektrischen Fernrohrantrieb oder manueller Feinbewegung durch ein Leitfernrohr an einem Leitstern sorgfältig nachzuführen. Wegen der Eigenbewegung des Objekts (Komet, Kleinplanet) sollte die Belichtungszeit unter 15 Minuten liegen. Datum u. Uhrzeit (Weltzeit UTC Funkuhr) der Aufnahme für die Belichtungszeitmitte.
Beispiel: Brennweite des Objektivs F=1000 mm. Tägliche Bewegung »w« eines  Kleinplaneten in Deklin. d1-d = 0.1°, in Rektaszension ar1-ar = 0.4°;  d,d1, ar,ar1 = Deklination an einem (d=23.123° 0h TDT) und am folgenden Tag (d1=23.223° 0h   TDT); Tägl. Bewegung w 0.38108° =  SQR(0.1^2+(0.4*COS(0.5*(d1+d)))^2). (0.38108°/(1440 Min. *  57.29577951))*F 1000 mm = 0.004619 mm/Min. Wird die Kamera den Sternen  nachgeführt, zieht der Kleinplanet infolge Eigenbewegung eine Lichtspur von 0.0046 mm Länge pro Minute. Nach 4.6 Min. (0.02 mm Auflösung  Emulsion/ 0.0046 mm/Min.) Belichtung wird der Kleinplanet als Strichspur abgebildet.                  
Die jeweilige Position innerhalb der Belichtungszeit findet man durch Ausgleichsrechnung. Rektaszension: arn = ao+b*tn, Deklination: dn=do+c*tn; t1,t2...,n usw. sind Zeitpunkte der gemessenen Orte ar1,d1,ar2,d2...,n usw. die Koordinaten des
Kleinplaneten (n= Anzahl).
[ar]  = S ar1+ar2+ar3...,n
[t]   = S t1+t2+t3...,n
[tt]  = S t1*t1+t2*t2+t3*t3..,n
[art] =S ar1*t1+ar2*t2+ar3*t3...,n
REM NORMALGLEICHUNG FÜR ZWEI UNBEKANNTE (LINEARE REGRESSION)
REM  n  ao + [t]   b = [ar]
REM [t] ao + [tt]  b = [art]

Die Bedingungsgleichung für Eigenbewegung in Deklination d=do+c*t wird analog berechnet.
Die  Korngröße der Photoemulsion liegt bei 0.001-0.005 mm. Bei einer Brennweite von 300 mm entspricht 1'' auf dem 36x24 mm Negativfilm 300/206264.806'' = 0.0014544  mm. Die Größe der Körner liegt demnach etwa bei 0.003 mm/0.00145 = 2.1''. Bei einem Objektiv mit 50 mm  Brennweite entspricht 1'' auf dem Film linear 0.000242  mm. Die Korngröße liegt dann bei 0.003/0.000242 mm = 12.4''.
Um  sich vor Filmemulsionsfehlern und Hotpixel zu schützen, sind am besten mehrere Aufnahmen zu belichten. Die genaue Position des Objekts findet man durch Anschluss an die Referenzsterne des vom Himmelsglobus dargestellten Sternfeldes der Aufnahme oder eines extern verwendeten astrometrischen Sernkataloges (PPM-, Hipparcos-Catalogue s. ftp:\\spaceglobe.diskstation.eu\public\spaceglobe\Astronomy Reference System\ Catalogue).
Anhand  des Himmelsglobus oder am Gradnetz  einer handelsüblichen übersichtlichen Himmelskarte, sind  die Anhaltssterne mittels der im Sternkatalog tab. Rektaszension und  Deklin. (siehe photographischer Sternatlas: Atlas Stellarum [Maßstab 1 mm = 2 Bogenminuten] oder Falkauer Atlas, ehemals Treugsell-Verlag, Dr. Vehrenberg KG, Düsseldorf, oder www.stellarium.de )  leicht zu identifizieren.
Je  bei geringer Höhe über dem Horizont aufgenommenen Sterne, macht sich die Extinktion und differentielle Refraktion der Atmosphäre bemerkbar. Um diese klein zu halten bzw. auszuschließen, das Objekt erst nach erreichen einer möglichst großen Höhe aufnehmen.

Die Ausmessung der Fotoplatten erfolgt gewöhnlich an einem auf 1 bis 2 tausendstel Millimeter lineargenauen Präzisionsmessapparatur (Kreuztisch) mit Ablesemikroskop, der Winkel- bzw. Positionsgenauigkeiten um 0.01'' ermöglicht.
Um durch Ausmessung von 24x36 mm2  Kleinbildfilm eine Bogensekunde Mindestgenauigkeit zu  erzielen, vergrößert man das Foto oder Bitmap mit einem Diaprojektor oder am Monitor auf das x-fache  (1'' bei F=300 mm Brennweite und 100facher Vergr. sind dann z. B. 0.14544 mm der Projektionsfläche). Die Auflösung von hochempfindlichem Filmmaterial liegt bei 50 Linien/mm (1/50 = 0.02 mm), von geringer empfindlichem Korn bei 120 Linien/mm (0.0083 mm). Bei 100facher Vergrößerung beträgt die Korngröße also bereits etwa 0.3 mm. Geringer  empfindliche bzw. feinkörnigere Materialien liefern daher genauere Positionsergebnisse. Chips die schon 18 Megapixel umfassen lassen sich pixelgenau ausmessen.                
Das Bild (Negativ, Dia-Positiv oder Bitmap) darf keinesfalls verzerrt (gekippt oder schräg) projiziert werden, da die optische Achse des Diaprojektors  genau senkrecht auf der Projektionswand stehen muß (ein an der Projektionswand anliegender ebener Spiegel reflektiert dann den  Lichtstrahl der Justierblende [kleine Lochblende] auf sich selbst  zurück). Am beeten egtnet sich bei DSLR kameras das RAW-Format zum auaswerten.  

Um das  zu vermessende Objekt (Punkt auf der Meteorspur, Sternabbilung eines Kleinplat o.ä.) sollten  mindestens 5  (nicht weiger als 3) darum verteilte Bezugssterne  liegen  (zur Genauigkeitserhöhung soweit vorhanden bis zu 10)  auf einem Bogen Millimeterpapier auf 1/10 mm markieren oder an der Projektionswand (Monitor) direkt ausmessen.
Den Vergrößerungsfaktor ermittelt  man durch Division des berechneten  Gradabstandes (d) zweier Sterne in Millimeter (d') auf  dem Film durch den jeweils gemessenen Millimeterabstand auf dem Projektionsbild.
Referenzstern Nr. 2 besitzt die AR1 (Rektaszension) 0h16m53.972s (0+16/60+53.972/3600 =) 0.28165878h * 15° = AR1 4.22881749°, Deklin. d1 -15°28'26.89'' = d1 -15.47413693°. Referenzstern Nr. 4 (PPM 208601) AR2 0h17m14.426s = AR2 4.310106818°, Deklin. d2 -14°59'44.89'' = d2 -14.99580197° (einschließich Eigenbewegung in  -11.322528 julian. Jahren).Der Winkelabstand der zwei Sterne an der  Sphäre beträgt dann:
ARCCOS d = sin(d1) sin(d2) + cos(d1) cos(d2) cos(AR1 - AR2) = d 0.485351473° * 3600'' = 1747.265'' * 0.004848 mm = Abstand auf dem Kleinbildfilm d' 8.47074 mm. Gemessener  Abstand der zwei Sterne der Diaprojektion/Bitmap: 101.65 mm/8.47074 mm =  Vergrößerungsfaktor der Kleinbildaufnahme 11.99979x.
Brennweite der  Aufnahmeoptik F=1000 mm. Vergrößerung 11.99979x. Effektive Brennweite 1000 mm * 11.99979 = 11999.79 mm * 1/206264.8 = Maßstab:  1'' : 0.0581766 mm = (1/0.0581766 mm) = 1 mm : 17.189''.
Alternativ lässt sich die gemessene Seitenlänge des Negativs [ca. 23x35 mm2 Maskenausschnitt des Diarahmens] durch die projizierte dividieren. Mathematische Beziehung: Bildseitenlänge =  Projektionsabstand (Meter m) * Diaseitenlänge (mm) / Objektivbrennweite.
6.005  m gemessener Projektionsabstand * 35.01 mm Diaseitenlänge / 85 mm Objektivbrennweite des  Diaprojektors = projizierte Bildseitenlänge 2.47335 m / 0.03501 mm =  70.64695fache Vergrößerung. Die konstante Brennweite ist exakt zu bestimmen: Brennweite 85.00 mm = 6.0050 m  * 35.01 mm / 2.473353 m projizierte Bildseitenlänge.

Einen  Blink-Komparator wird verwendet um irgendwelche Veränderungen auf  zeitlich verschiedenen Aufnahmen des gleichen Himmelsareals festzustellen. Entsprechende Astroprogramme enthalten einen Blnk-Komperator. Optisch wird eine blitzschnelle wechselseitige Abdeckung der Bilder erzielt, wobei auf optischem Wege der Eindruck erweckt wird ein deckungsgleiches Bild zu betrachten. Ein nur auf einer Aufnahme  vorhandenes Objekte (Komet, Kleinplanet, Novae, Hotpixel usw.), das auf der anderen fehlt, verrät sich aufgrund  der hohen Bildwechselfrequenz durch  den Blinkeffekt.
Provisorisch  ergeben zwei Diaprojektoren denselben Effekt. Projektionsbilder zweier  zeitlich verschiedener  Diaaufnahmen gleichen Himmelsareals zur Deckung bringen. Objekte einer Aufnahme, die auf der andern fehlen, blinken infolge schneller, wechselseitiger Ein- und Ausschaltung der Projektoren  (Stromwechsel ggf. mittels  Magnetschalter elektron. regeln). Allerdings hat die Computerbildverarbeitung auch die opt. Apparate längst überholt. Der  Graphikspeicher enthält die jeweils mit einem Scanner digitalisierte Astroaufnahme oder liest den Bildspeicher der Kamera unmittelbar aus,  wobei der  Bildspeicher in eine Stringvariable eingelesen wird.  Liegen die Variablen zweier Bildschirmseiten (sreen1$, sreen2$) bzw.  mehrerer Graphikspeicher vor, erscheinen diese einfach in schnell  wechselnder Folge auf dem Monitor (Pages-Flipping), so daß helligkeitsveränderliche  Objekte blinken oder bewegungsveränderliche Objekte hin- und  herspringen. Auf diese Weise sind auch Bildanimationen (Filmsequenzen)  einfach zu realisieren.
Im einfachsten Falle, wird die frühere und spätere Aufnahme auf dasselbe Fotopapier etwas versetzt reproduziert oder am Monitor durchscheinend wiedergegeben. Alle Sterne erscheinen darauf doppelt mit  konstantem Abstand, während bewegte Objekte durch Fehlen eines Doppelbildes herausfallen.

Gemessen werden die rechtwinkligen x-,y-Koordinaten des Objekts und der umliegenden Anhaltsterne (mindestens 3) in Millimetern ab Nullpunkt des Koordinatenkreuzes  (Mitte des Aufnahmefeldes x=0, y=0), das ungefähr parallel des Rektaszensionskreises (+y-Achse) nach Norden und +x-Achse  nach Westen (im umkehrenden Teleskop unten und links) orientiert wird.  Die mehrmals hin- und zurück gemessenen  Werte mitteln, Platte oder Negativ evtl. um 180 Grad  drehen, Messungen wiederholen und mitteln. Einer der Referenzsterne  liegt zur Markierung des Koordinatenkreuzes am besten in der Plattenmitte, um deren Koordinate zu erhalten.  Das x-/y-Koordinatenkreuz läßt sich zudem anhand  berechneter x-,y-Werte umliegender Bezugsterne (5-10 Sterne) leicht einmessen.
z=ARCTAN(TAN(d)/COS(AR-A))
x = -r*((COS(z)*TAN(AR - A))/COS(z - D))
y = r*TAN(z - D)
A,D  = Rektaszension und Deklination der Plattenmitte sorgfältig anhand eines  fotografischen  Sternatlas bestimmen (B1950, J2000), da die Präzision des eingemessenen Koodinatenkreuzes davon abhängt; r=effektive Brennweite der  Aufnahmeoptik (F=1000 mm x 11.99979fache Vergr. des Dia = r=11999.79 mm); d, AR = Deklnination und Rektazension der ausgesuchten Anhaltsterne; x,y = ideal mathematisch berechnete Rechteckkoordinaten der gemessenen x-/y-Anhaltsterne.
Die Koordinate des Objekts werden von der Koordinate der optischen Achse (Bildmitte) kaum beeinflußt.
Die  Messung der x-,y-Werte der Referenzsterne bzw. des Objekts der Aufnahme  (Meteorspur, Planetoid, Komet usw.) erfolgt dann  ab dem dadurch eingemessenen Standardkoordinatenkreuz  (Fig. 42). Gleichmäßig über die Aufnahme verteilte Referenzsterne  auswählen, da die Ausgleichung der Plattenfehler davon abhängt.
Beispiel (Fig. 40). Ausmessung einer Kleinplanetenaufnahme vom 5.9.1988, 1h4m14s UT. Plattenmitte: 0h16m28.8s AR, -15°20'36'' Deklination (AR u. Deklin. der Plattenmitte = x=0,y=0). Beobachtungsort: +49°23'54.6'' n. Br.,  +8°43'17.9'' östl. Länge,  NN = 570 m.

Bei ziemlich genau ausgerichteter parallaktischer Montierung des Teleskops  bzw. der Kamera, kann auch ab der  Randbegrenzung des Bildmaterials gemessen werden, sofern  dieser scharf genug erscheint, da die Seiten dann eine äquatoriale Ausrichtung aufweisen, wodurch die Reduktion  auf die Bildmitte entfällt, oder anhand eines eingezogenen Strichkreuzes durch Mittelung der Längs- und Breitseite des Negativs oder Bitmaps.
Eingabe folg. Werte:
Referenzsterne (mittl. astrometr. Katalog- bzw. Sternort bzw. Äquinoktium J2000, FK5):
1) AR 0h 15m26.500s, p.m. -0.0008s  x =  52.33 mm d -15°37'32.42'' p.m. -0.023'' y = -59.17 mm
2) AR 0h16m53.992s, p.m. +0.0018s  x = -21.25 mm d -15°28'27.21'' p.m. -0.028'' y = -27.41 mm
3) AR 0h17m08.833s, p.m. +0.0025s  x = -33.72 mm d -15°39'27.94'' p.m.  0.017'' y = -65.89 mm
4) AR 0h17m14.463s, p.m. +0.0033s  x = -38.60 mm d -14°59'45.34'' p.m. -0.040'' y = +72.78 mm
Objekt Kleinplanet: x =  29.95 mm   y = -39.80 mm
(p. m. = proper motion: Eigenbewegung  in AR und Deklin. pro Jahr)
Topozentrische astrometrische Koordinaten t1,t2,t3  (3 Ortsbestimmungen für die Bahnberechnung) des Planetoiden  Ceres (= mittl. Ort J2000/FK5 der Bezugssterne) mittels fotografischer Ortsbestimmung (Ausgabe: Rektaszension und Deklination):
t1 5.09.88,  1h04m14s UT a1  00h15m53.13s, d1 -15°31'59.7''
t2 9.10.88, 22h09m34s UT a2  23h48m03.20s, d2 -17°54'12.0''
t3 6.11.88, 20h59m04s UT a3  23h35m44.30s, d3 -17°04'41.0''
Bei  Aufnahmen mit nur wenigen Grad Durchmesser und Bezugssterne in nicht  allzu hoher Deklination, können mittlere Sternörter der Standardepoche J2000 verwendet werden. Daran angeschlossen ergibt sich direkt der mittlere Ort des Objekts zur Standardepoche der Anhaltsterne. Für polnahe Sterne oder Sternfeldaufnahmen größeren Durchmessers muss der genaue scheinbare Sternort sämtlicher Bezugsterne einzeln für Datum und Zeitpunkt der Aufnahmemitte berechnet werden. Daran angeschlossen erhält man den scheinbaren Ort des Objekts, wahres Äquinoktium des  Aufnahmezeitpunktes (UTC Mitte der Belichtungszeit).
Der  Himmelsglobus liefert den astrometrischen geozentrischen ubd  topozentrischen Ortes der Standardepoche  B1950.0/FK4 (mit E-Terme der Aberration) und J2000/FK5  (ohne E-Terme) und des scheinbaren geozentrischen ubd topozentrischen. Ortes, Äqunioktium des Datums.
Ausgabe des Himmelsglobus: Auf der Platte betimmter scheinbarer Ort des Planetoiden Ceres am 5.9.1988, 1h04m14s UT: AR 0h15m20.288s, Deklin. d -15°35'34.01''.
Astrometrischer Ort J2000/FK5: AR 0h15m53.13s, Deklin.  d -15°31'59.7'', astrometrischer Ort B1950/FK4: AR 0h13m20.557s , Deklin. d-15°48'39.89''.
Der geometrische Ort, korrigiert für Lichtzeit  (Planetenaberration) + E-Terme der jährlichen Aberration eines Körpers  des Sonnensystems, bezogen auf eine Standardepoche der Präzession  (Normalort B1950, J2000), nennt man den astrometrischen Ort (ab 1984 ohne E-Terme) des Objekts (bei Sternen = mittlerer Ort, Äquinoktium der Epoche).
Die Reduktion mittlerer Katalogörter der Epoche B1950  oder J2000 für Eigenbewegung und jährlichen Parallaxe der Sterne auf den  photographischen Aufnahemzeitpunkt des Objekts, ergibt vergleichbare Katalogörter. Die graphische Wiedergabe kann somit ohne weiteres auf eine  entsprechend (für Eigenbewegung und Parallaxe der Sterne) reduzierte Sternkarte der fixen Präzessionsepoche B1950.0 oder J2000 erfolgen. Sternpositionen fotografischer Sternatlanten sind natürlich mit der Eigenbewegung und jährlichen Parallaxe der Sterne behaftet und daher nur für den Aufnahmezeitpunkt streng gültig, wobei sich die Präzession der Äquinoktium (langsame westliche Wanderung des  Aries-Punktes = Null-Länge der Koordinatenzählung) meist auf die Standardepoche Epoche  B1950 oder J2000 bezieht.
Als  Astrograph wird die speziell für Sternfeldaufnahmen verwendete Kamera  bezeichnet. Die astrometrischen (=astrographischen) Örter der Aufnahme werden mit dem Koordinatenmessapparat ausgemessen und mit Hilfe eines Computers berechnet. Digitale CCD-Kameraaufnahmen werden entsprechend vermessen.
Die auf Schmidtspiegel-Platten der Sternwarte  Hamburg-Bergedorf ausgemessenen Positionen von Kometen und Planetoiden haben durchschnittlich 0.1 bis 0.2 Bogensekunden Genauigkeit. Der 1930  in Betrieb genommene  Schmidt Spiegel besitzt 120 cm Durchmess, 240 cm Brennweite, 1:3 Öffnungsverhältnis und 16 Grad Bildfelddurchmesser.
Der 1897 aufgestellte Yerkes-Refraktor (Yerkes Obs.,  University of Chicago) ist mit 40 Zoll Öffnung (1020 mm) und 19.97 m  Brennweite (=8.3x länger als die des Hamburger Schmidt-Spiegel) noch  heute das größte Linsenfernrohr der Welt. Sternpositionen werden damit auf 0.01  Winkelsekunden (=0.001 Zeitsekunden) ermittelt.

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REM leichtevertändliches und simpel adatptierbare BASIC Algorithmen ASTROGRAPH  I  FÜR KLEINMASSTÄBIGE FELDSETRNAUFNAHMEN ÜBLICHER FOTOAPPARATE.
REM Läuft einwandfrie im GFA 16 Interpreter auf x86 basierende Systeme mit 32 Bitt Bestriebssystem.
DEFFN gzb(x) = ATN(1 / (1 + 0.006739501819 * (6378140 / (6378140 + eh))) * TAN(x))
DEFFN ro(x) = 6356755.288157 / SQR(1 - 0.006694384999591 * COS(ATN(0.993305615 * TAN(x))) ^ 2) + eh
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
DIM  ar(20),dek(20),ar1(20),dek1(20),x(20),y(20),x1(20),y1(20),ko(10),ko1(10),koo(10),p1(5,5),p(5,5),xo(20),yo(20),n(20),aa(20),dd(20),w1(20),w2(20),w3(20)
GOSUB astrogra
PROCEDURE astrogra
REM -- ASTROGRAPH I  - PHOTOGRAPHISCHE ORTSBESTIMMUNG --
k1 = RAD(20.49552 / 3600)
neu:
CLS
PRINT AT(1,1);"- ASTRONOMISCHE ORTSBESTIMMUNG -"
PRINT AT(1,3);"DATUM (TT.MM.JJJJ)...........................: ";
REM  INPUT "",a$
a$="17.8.1988" //-------------------
a1 = ABS(LEN(a$) - 2)
a2 = VAL(LEFT$(a$,2))
a3 = VAL(MID$(a$,4 + (a2 < 10),2))
a4 = VAL(RIGHT$(a$,a1 + (a2 < 10) + (a3 < 10) + (a2 > 9) * 2 + (a3 > 9) * 2))
IF a2 = 0 OR a1 > 10 OR ABS(a2) > 31 OR ABS(a3) > 12 THEN
  GOTO neu
ENDIF
GOSUB jd
PRINT AT(1,4);"UHRZEIT (UTC AUFNAHMEMITTE h,m,s).............: ";
REM  INPUT "",h,m,s
h = 3
m=26 //-------------------------
s = 30
ut = h + m / 60 + s / 3600
PRINT AT(1,5);"KORREKTIONSWERT FÜR EPHEMERIDENZEIT (SEK)....: ";
REM  INPUT "",ddt  //ddt=TDT-UT
ddt=56 //---------------
ddt = ddt / 3600
PRINT AT(1,6);"H™HÖHE ÜBER N.N. (METER).......................: ";
REM   INPUT "",eh
eh = 200
PRINT AT(1,7);"GEOGRAPHISCHE BREITE (o,','')................: ";
REM   INPUT "",h$,m,s
h$ = "50"
m=0 //----------------------
s = 0
GOSUB grad           //KOORDINATEN BEOBACHTRUNGSSTATION
br=FN gzb(g)         //FÜR TÄGL. ABERRATION
p1 = FN ro(g) / 6378140
PRINT AT(1,8);"GEOGRAPHISCHE LÄNGE (o,','').................: ";
REM   INPUT "",h$,m,s
h$ = "6"
m=0 //---------------------
s = 0
GOSUB grad
lgeo = DEG(g)
jdbeo=jd+(ut+ddt)/24 //JULIAN. DATUM DER AUFNAHMEMITTE
PRINT AT(1,9);"KATALOGEPOCHE REFERENZSTERNE (1950.0, 2000.0): ";
REM  INPUT "",ep
ep=1950 //-----------------
PRINT AT(1,10);"BESSEL/FK4 ODER JULIAN./FK5  B,J.............: ";
REM   INPUT "",ep$
ep$="B" //------------------------
ep$=UPPER$(ep$) //BEFEHL GROSSBUCHSTABE
IF ep$ = "B" THEN
  jdep = 2415020.31352 + 365.242198781 * (ep - 1900)
ENDIF
IF ep$ = "J" THEN
  jdep = 2451545 + 365.25 * (ep - 2000)
ENDIF
t1 = (jd - 2451545) / 36525
t = (jdbeo - 2451545) / 36525
GOSUB nut
GOSUB osz
jdd=(jdbeo-jdep)/365.25 //DIFFERENZ AUFNAHMENITTE-EPOCHE IN JULIAN. JAHREN
PRINT AT(1,11);"PRIMÄBRENNWEITE DER AUFNAHMEOPTIK (mm)......: ";  //IN MILLIMETER
REM  INPUT "",f
fo=20 //------------------
PRINT AT(1,12);"ANZAHL REFERENZSTERNE........................: ";
REM  INPUT "",anz
anz=5 //---------------
CLS
i = 1
PRINT AT(1,2);"KATALOG-REKTASZENSION STERN AUFNAHMEMITTE (h,m,s): ";  //AR DER OPTISCHEN ACHSE
REM  INPUT "",h$,m,s
h$ = "20"
m=2 //----------------------
s = 0
GOSUB grad
ar(i) = g * 15
REM EIGENBEWEGUNG BEZOGEN AUF DIESELBE EPOCHE WIE AR UND DEKLIN.
PRINT AT(1,3);"EIGENBEWEGUNG STERN AR AUFNAHMEMITTE  (ZEITSEK.)..: "; //FALLS STERN INMIITEN DER AUFNAHME GEMESSEN SONST pm = 0
REM   INPUT "",pm
pm=0 //--------------------
ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)
PRINT AT(1,4);"KATALOG-DEKLINATION STERN AUFNAHMEMITTE (o,','').: ";  //DEKLIN. OPTISCHE ACHSE
REM   INPUT "",h$,m,s
h$ = "13"
m=50 //-----------------
s = 0
GOSUB grad
dek(i) = g
PRINT AT(1,5);"EIGENBEWEGUNG STERN DEKLIN. AUFNAHMEMITTE ('')...: ";
REM   INPUT "",pm
pm=0 //------------------
dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd
PRINT AT(1,6);"JÄHRL. PARALLAXE  ('')............................: ";  //FALLS AM STERN INMITTEN DER AUFNAHME GEMESSEN, SONST p = 0
REM   INPUT "",p
p=0 //---------------------
GOSUB appapos
do = dek(i)
aro = ar(i)
CLS
GOTO jump //----------------
FOR i=1 TO anz  //EINGABE REFERENZSTERNE
  PRINT AT(1,2);i;") KATALOG-REKTASZENSION REFERENZSTERN (h,m,s): ";
  INPUT "",h$,m,s
  GOSUB grad
  ar(i) = g * 15
  REM EIGENBEWEGUNG BEZOGEN AUF DIESELBE EPOCHE WIE AR UND DEKLIN.
  PRINT AT(1,3);i;") EIGENBEWEGUNG AR REFERENZSTERN (ZEITSEK.)..: ";
  INPUT "",pm
  ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)
  PRINT AT(1,4);i;") KATALOG-DEKLINATION REFERENZSTERN (o,','').: ";
  INPUT "",h$,m,s
  GOSUB grad
  dek(i) = g
  PRINT AT(1,5);i;") EIGENBEWEGUNG DEKLIN. REFERENZSTERN ('')...: ";
  INPUT "",pm
  dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd
  PRINT AT(1,6);i;") J¥HRL. PARALLAXE ('')......................: ";
  INPUT "",p
  GOSUB appapos
  PRINT AT(1,7);i;") x-,y-MESSUNG REFERENZSTERN (mm)............: "; //IN MILLIMETER
  INPUT "",x(i),y(i)
  REM STRENGE STANDARDKOORDINATEN X,Y
  j = SIN(dek(i)) * SIN(do) + COS(dek(i)) * SIN(do) * COS(ar(i) - aro)
  x1(i) = (COS(dek(i)) * SIN(ar(i) - AR)) / j
  y1(i) = (SIN(dek(i)) * COS(do) - COS(dek(i)) * SIN(do) * COS(ar(i) - aro)) / j
  CLS
NEXT i
jump: //------------------
REM EINGABE REFERENZSTERNE
REM (BEI VERWENDUNG OBIGER INPUT-EINGABESCHLEIFE DIESEN TESTTEIL LÖSCHEN)--
i=1 //NR. 1
h$ = "20"
m = 2
s = 49.691
GOSUB grad
ar(i) = g * 15
pm = 0.0009
ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)
h$ = "14"
m = 9
s = 38.11
GOSUB grad
dek(i) = g
pm = -0.015
dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd
p = 0
GOSUB appapos
x(i) = 0.9139
y(i) = 1.12604
REM ----------------------------------------------
i=2 //NR. 2
h$ = "20"
m = 3
s = 58.936
GOSUB grad
ar(i) = g * 15
pm = -0.0001
ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)
h$ = "13"
m = 39
s = 13.67
GOSUB grad
dek(i) = g
pm = -0.001
dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd
p = 0
GOSUB appapos
x(i) = 0.82013
y(i) = 0.94729
REM ----------------------------------------------
i=3 //NR. 3
h$ = "20"
m = 0
s = 44.093
GOSUB grad
ar(i) = g * 15
pm = -0.0006
ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)
h$ = "13"
m = 32
s = 0.31
GOSUB grad
dek(i) = g
pm = -0.037
dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd
p = 0
GOSUB appapos
x(i) = 1.09641
y(i) = 0.91136
REM ----------------------------------------------
i=4 // NR. 4
h$ = "20"
m = 2
s = 45.502
GOSUB grad
ar(i) = g * 15
pm = 0.0047
ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)
h$ = "13"
m = 37
s = 15.97
GOSUB grad
dek(i) = g
pm = -0.011
dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd
p = 0
GOSUB appapos
x(i) = 0.92378
y(i) = 0.93787
REM ----------------------------------------------
i=5 // NR. 5
h$ = "20"
m = 2
s = 27.265
GOSUB grad
ar(i) = g * 15
pm = 0.0008
ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)
h$ = "13"
m = 55
s = 47
GOSUB grad
dek(i) = g
pm = -0.011
dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd
p = 0
GOSUB appapos
x(i) = 0.94719
y(i) = 1.04618
REM ----------------------------------------------
REM STRENGE STANDARDKOORDINATEN X,Y BEOBACHTUNG MINUS RECHNUNG
FOR i = 1 TO anz
  j = SIN(dek(i)) * SIN(do) + COS(dek(i)) * COS(do) * COS(ar(i) - aro)
  x1(i) = (COS(dek(i)) * SIN(ar(i) - aro)) / j
  y1(i) = (SIN(dek(i)) * COS(do) - COS(dek(i)) * SIN(do) * COS(ar(i) - aro)) / j
NEXT i
REM ---------------------
GOSUB ausgleich
CLS
PRINT AT(1,1);"BESTIMMUNG DER PROJIZIERTEN/KOPIERTEN NEGATIVVERGRÖSSERUNG"
PRINT AT(1,2);"NR. ZWEIER REFERENZSTERNE GEMESS. WINKELDISTANZ A,B: ";
REM  INPUT "",nr1,nr2
nr1 = 2
nr2=4 //---------------
PRINT AT(1,3);"GEMESSENE WINKELDISTANZ STERN NR. ";nr1;" ZU ";nr2;" (mm)......: "; //MILLIMETER
REM  INPUT "",dis
dis=101.65 //--------------
d = ACOS(SIN(dek(nr1)) * SIN(dek(nr2)) + COS(dek(nr1)) * COS(dek(nr2)) * COS(ar(nr2) - ar(nr1)))
d=DEG(d)*3600 //DISTANZ DER ZWEI STERNE IN BOGENSEKUNDEN
f1=fo/206264.8062471 //1'' (BOGENSEK.) AM HIMMEL = F1 MILLIMETER AUF DEM NEGATIV
v=dis/(d*f1) //VERGRÖSSERUNG DER DIAPROJEKTION/KOPIE GEGENšBER DEM NEGATIV
r=fo*v //EFFEKTIVE BRENNWEITE IN MILLIMETER
f2=r/206264.8062471 //MASSTAB 1'' AUF DER DIAPROJEKTION/KOPIE = F2 MILLIMETER
f3=1/f2 //1 mm DER DIAPROJEKTION/KOPIE = f3 BOGENSEKUNDEN
CLS
PRINT AT(1,1);"ANZAHL MESSUNGEN OBJEKT: ";  //GERADE MEHRFACH HIN UND ZURÜCK MESSEN
REM  INPUT "",ns
ns=1 //------------------
PRINT AT(1,2);SPC(50)
j = 0
GOTO ik //----------------
FOR i = 1 TO ns
  j = j + 1
  PRINT AT(1,j);j;") MESSUNG OBJEKT x,y (mm): ";  //EINGABE MILLIMETER
  INPUT "",x(i),y(i)
NEXT i
ik: //-------
x(1) = 0.95046
y(1) = 0.99977
FOR i = 1 TO ns
  xo(i)=koo(2)*x(i)+koo(3)*y(i)+koo(1)  //AUSGEGLICHENDE STANDARDKOORDINATEN
  yo(i)=ko1(2)*x(i)+ko1(3)*y(i)+ko1(1)  //DES GEMESSENEN OBJEKTS
  j = COS(do) - yo(i) * SIN(do)
  ar1(i)=FN r(aro+ATN(xo(i)/j))  //REKTASZENSION OBJEKT
  dek1(i)=ATN((SIN(do)+yo(i)*COS(do))/SQR(xo(i)^2+j^2)) //DEKLINATION OBJEKT
NEXT i
FOR i = 1 TO ns
  n(i) = xo(i)
NEXT i
GOSUB sig
PRINT AT(1,1);"AUSGEGLICHENE STANDARDKOORDINATEN DES OBJEKT:"
PRINT AT(1,2);USING "X: ##.######### ",mw;
PRINT "/ m.F. ";mf;"/ Streuung ";sig
FOR i = 1 TO ns
  n(i) = yo(i)
NEXT i
GOSUB sig
PRINT AT(1,3);USING "Y: ##.######### ",mw;
PRINT "/ m.F. ";mf;"/ Streuung ";sig
FOR i = 1 TO ns
  n(i) = DEG(ar1(i)) / 15
NEXT i
GOSUB sig
arap = RAD(mw) * 15
GOSUB sexa
IF ep$ = "J" THEN
  PRINT AT(1,4);"SCHEINBARER ORT OBJEKT, WAHRES ÄQUINOKTIUM DES DATUM/FK5:"
ELSE
  PRINT AT(1,4);"SCHEINBARER ORT OBJEKT, WAHRES ÄQUINOKTIUM DES DATUM/FK4:"
ENDIF
PRINT AT(1,5);USING "AR.....: ## h ## m ##.### s",h,m,s;
PRINT "/ m.F. ";mf;"/ Streuung ";sig
FOR i = 1 TO ns
  n(i) = DEG(dek1(i))
NEXT i
GOSUB sig
dekap = RAD(mw)
GOSUB sexa
PRINT AT(1,6);"DEKLIN.: ";z$;USING "## o ## ' ##.## ''",h,m,s;
PRINT "/ m.F. ";mf;"/ Streuung ";sig
GOSUB app  //SUBROUTINE MITTL. ORT
arj=AR //MITTL. AR
dj=d   //MITTL. DEKLIN.
mw = DEG(AR) / 15
GOSUB sexa
IF ep$ = "J" THEN
  PRINT AT(1,7);"ASTROMETR. ORT OBJEKT, MITTL. ÄQUINOKTIUM J2000/FK5"
ELSE
  PRINT AT(1,7);"ASTROMETR. ORT OBJEKT, MITTL. ÄQUINOKTIUM B1950/FK4"
ENDIF
PRINT AT(1,8);USING "AR.....:  ## h ## m ##.### s",h,m,s
mw = DEG(d)
GOSUB sexa
PRINT AT(1,9);"DEKLIN.: ";z$;USING "## o ## ' ##.## ''",h,m,s
IF ep$ = "J" THEN
  GOSUB conv1
ELSE
  GOSUB conv
ENDIF
mw = DEG(AR) / 15
GOSUB sexa
IF ep$ = "J" THEN
  PRINT AT(1,10);"ASTROMETR. ORT OBJEKT, MITTL. ÄQUINOKTIUM B1950/FK4"
ELSE
  PRINT AT(1,10);"ASTROMETR. ORT OBJEKT, MITTL. ÄQUINOKTIUM J2000/FK5"
ENDIF
PRINT AT(1,11);USING "AR.....: ## h ## m ##.### s",h,m,s
mw = DEG(d)
GOSUB sexa
PRINT AT(1,12);"DEKLIN.: ";z$;USING "## o ## ' ##.## ''",h,m,s
PRINT AT(1,16);"PRIMÄRBRENNWEITE DER AUFNAHMEOPTIK: ";fo;" mm"
PRINT AT(1,17);"EFFEKTIVE BRENNWEITE: ";r;" mm"
PRINT AT(1,18);"VERGRÖSSERUNGSFAKTOR: ";v;"x"
PRINT AT(1,19);"MASSTAB: 1''  = ";f1;" mm AUF DEM NEGATIV"
PRINT AT(1,20);"MASSTAB: 1''  = ";f2;" mm AUF DER KOPIE/DIAPROJEKTION"
PRINT AT(1,21);"MASSTAB: 1 mm = ";f3;" '' AUF DER KOPIE/DIAPROJEKTION"
PRINT AT(1,23);"TASTE >1<"
PRINT AT(1,24);"TASTE >2<"
PRINT AT(1,25);"TASTE >S<"
DO
  w$ = UPPER$(INKEY$)
  IF w$ = "1" THEN
    GOSUB tafel
    IF w$ = "1" THEN
      GOSUB tafel
    ENDIF
  ENDIF
  IF w$ = "2" THEN
    GOSUB astrogra
  ENDIF
  EXIT IF w$ = "S"
LOOP
RETURN
PROCEDURE grad
j = 1
IF LEFT$(h$,1) = "-" THEN
  j = -1
ENDIF
g = RAD(ABS(VAL(h$)) + m / 60 + s / 3600) * j
RETURN
PROCEDURE sexa
IF mw < 0 THEN
  z$ = "-"
ELSE
  z$ = "+"
ENDIF
g = ABS(mw)
h = FIX(g)
m = FIX((g - h) * 60)
s = ((g - h) * 60 - m) * 60
RETURN
PROCEDURE tafel
CLS
PRINT AT(15,1);"       EINMESSUNG EINES KOORDINATENKREUZES    "
PRINT AT(15,2);"STRENGE STANDARDKOORDINATEN X,Y DER REFERENZSTERNE"
PRINT AT(15,3);"           WAHRS ÄQUINOKTIUM DES DATUMS       "
u = 4
FOR i = 1 TO anz
  u = u + 1
  PRINT AT(1,u);i;") X: ";-r * x1(i);" mm, Y: ";r * y1(i);" mm"
NEXT i
PRINT AT(1,24);"TASTE >W<"
REPEAT
UNTIL UPPER$(INKEY$) = "W"
CLS
PRINT AT(15,1);"SCHEINBARE REKTASZENSION UND DEKLINATION"
PRINT AT(15,2);"     WAHRES ÄQUINOKTIUM DES DATUMS"
u = 3
FOR i = 1 TO anz
  u = u + 1
  mw = DEG(ar(i)) / 15
  GOSUB sexa
  PRINT AT(1,u);i;USING ") AR:  ## h ## m ##.### s",h,m,s;
  mw = DEG(dek(i))
  GOSUB sexa
  PRINT ",  DEKLIN.: ";z$;USING "## o ## ' ##.## ''",h,m,s
NEXT i
PRINT AT(1,23);"TASTE >1<"
PRINT AT(1,24);"TASTE >2<"
REPEAT
UNTIL UPPER$(INKEY$) = "1" OR UPPER$(INKEY$) = "2"
DO
  w$ = UPPER$(INKEY$)
  IF w$ = "1" OR w$ = "2" THEN
    GOTO j
  ENDIF
LOOP
j:
RETURN
PROCEDURE jd
jd = 1720994.5 + a2 + FIX(30.6001 * ((a3 - 12 * (a3 < 3)) + 1)) + FIX(f * 365.2425 * (a4 + (a3 < 3)))
RETURN
PROCEDURE ausgleich
REM AUSGLEICHSRECHNUNG NACH DER METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE
REM ------------- NORMALGLEICHUNG ------------
REM   n*c+[x]*a+[y]*b=[X]            n*f+[x]*d+[y]*e=[Y]
REM [x]*c+[xx]*a+[xy]*b=[xX]       [x]*f+[xx]*d+[xy]*e=[xY]
REM [y]*c+[xy]*a+[yy]*b=[yX]       [y]*f+[xy]*d+[yy]*e=[yY]
xo = 0
yo = 0
xx = 0
yy = 0
xy = 0
x1 = 0
y1 = 0
xx1 = 0
yx1 = 0
xy1 = 0
yy1 = 0
xx2 = 0
yy2 = 0
FOR i = 1 TO anz
  xo=xo+x(i)          //xo=[x]
  yo=yo+y(i)          //yo=[y]
  xx=xx+x(i)*x(i)     //xx=[xx]
  yy=yy+y(i)*y(i)     //yy=[yy]
  xy=xy+x(i)*y(i)     //xy=[xy]
  x1=x1+x1(i)         //x1=[X]
  y1=y1+y1(i)         //y1=[Y]
  xx1=xx1+x(i)*x1(i)  //xx1=[xX]
  yx1=yx1+y(i)*x1(i)  //yx1=[yX]
  xy1=xy1+x(i)*y1(i)  //xy1=[xY]
  yy1=yy1+y(i)*y1(i)  //yy1=[yY]
  xx2=xx2+x1(i)*x1(i) //xx2=[XX]
  yy2=yy2+y1(i)*y1(i) //yy2=[YY]
NEXT i
m=3  //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN
n=3  //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
p1(1,1)=anz  //anz=ANZAHL DER MESSUNGEN BZW. REFERENZPUNKTE
p1(1,2)=xo   //p(m,n)=m=ZEILEN,n+1=SPALTEN; n+1=UNBEKANNTE+SUMME
p1(1,3) = yo
p1(1,4) = x1
REM ------------------------
p1(2,1) = xo
p1(2,2) = xx
p1(2,3) = xy
p1(2,4) = xx1
REM ------------------------
p1(3,1) = yo
p1(3,2) = xy
p1(3,3) = yy
p1(3,4) = yx1
FOR i = 1 TO m
  FOR k = 1 TO n + 1
    p(i,k) = p1(i,k)
  NEXT k
NEXT i
REM KOEFIZIENT ------------------
GOSUB elim
koo(1)=ko(1) //c
koo(2)=ko(2) //a
koo(3)=ko(3) //b
REM Mittlerer Fehler der Koeffizienten a,b,c:
FOR i = 1 TO m
  FOR k = 1 TO n + 1
    p(i,k) = p1(i,k)
  NEXT k
NEXT i
p(1,4) = 1
p(2,4) = 0
p(3,4) = 0
vvx = xx2 - x1 * koo(1) - xx1 * koo(2) - yx1 * koo(3)
an = anz - n
IF an = 0 THEN
  an = 1
ENDIF
mfx = SQR(ABS(vvx) / an) * SGN(vvx)
GOSUB elim
mfc=mfx*SQR(ABS(ko(1)))*SGN(ko(1)) //MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT c
FOR i = 1 TO m
  FOR k = 1 TO n + 1
    p(i,k) = p1(i,k)
  NEXT k
NEXT i
p(1,4) = 0
p(2,4) = 1
p(3,4) = 0
GOSUB elim
mfa=mfx*SQR(ABS(ko(2)))*SGN(ko(2)) //MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT a
FOR i = 1 TO m
  FOR k = 1 TO n + 1
    p(i,k) = p1(i,k)
  NEXT k
NEXT i
p(1,4) = 0
p(2,4) = 0
p(3,4) = 1
GOSUB elim
mfb=mfx*SQR(ABS(ko(3)))*SGN(ko(3)) //MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT b
CLS
PRINT AT(1,1);"PLATTENKONSTANTEN:"
PRINT AT(1,2);"a:  ";koo(2);"; b:  ";koo(3);"; c:  ";koo(1)
PRINT AT(1,3);"mfa: ";mfa;"; mfb: ";mfb;"; mfc: ";mfc
PRINT AT(1,6);"NORMALGLEICHUNG x:"
PRINT "LINKE SEITE ";anz * koo(1) + xo * koo(2) + yo * koo(3);" = RECHTE SEITE ";x1
PRINT "LINKE SEITE ";xo * koo(1) + xx * koo(2) + xy * koo(3);" = RECHTE SEITE ";xx1
PRINT "LINKE SEITE ";yo * koo(1) + xy * koo(2) + yy * koo(3);" = RECHTE SEITE ";yx1
p1(1,1) = anz
p1(1,2) = xo
p1(1,3) = yo
p1(1,4) = y1
REM ------------------------
p1(2,1) = xo
p1(2,2) = xx
p1(2,3) = xy
p1(2,4) = xy1
REM -------------------------
p1(3,1) = yo
p1(3,2) = xy
p1(3,3) = yy
p1(3,4) = yy1
FOR i = 1 TO m
  FOR k = 1 TO n + 1
    p(i,k) = p1(i,k)
  NEXT k
NEXT i
REM KOEFIZIENT --------------
GOSUB elim
ko1(1)=ko(1) //f
ko1(2)=ko(2) //d
ko1(3)=ko(3) //e
REM Mittlerer Fehler der Koeffizienten d,e,f:
FOR i = 1 TO m
  FOR k = 1 TO n + 1
    p(i,k) = p1(i,k)
  NEXT k
NEXT i
p(1,4) = 1
p(2,4) = 0
p(3,4) = 0
vvy = yy2 - y1 * ko1(1) - xy1 * ko1(2) - yy1 * ko1(3)
an = anz - n
IF an = 0 THEN
  an = 1
ENDIF
mfy = SQR(ABS(vvy) / an) * SGN(vvy)
GOSUB elim
mff=mfy*SQR(ABS(ko(1)))*SGN(ko(1)) //MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT f
FOR i = 1 TO m
  FOR k = 1 TO n + 1
    p(i,k) = p1(i,k)
  NEXT k
NEXT i
p(1,4) = 0
p(2,4) = 1
p(3,4) = 0
GOSUB elim
mfd=mfy*SQR(ABS(ko(2)))*SGN(ko(2)) //MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT d
FOR i = 1 TO m
  FOR k = 1 TO n + 1
    p(i,k) = p1(i,k)
  NEXT k
NEXT i
p(1,4) = 0
p(2,4) = 0
p(3,4) = 1
GOSUB elim
mfe=mfy*SQR(ABS(ko(3)))*SGN(ko(3)) //MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT e
GOSUB elim
PRINT AT(1,4);"d:   ";ko1(2);"; e:  ";ko1(3);"; f:  ";ko1(1)
PRINT AT(1,5);"mfd: ";mfd;"; mfe: ";mfe;"; mff: ";mff
PRINT AT(1,10);"NORMALGLEICHUNG y:"
PRINT "LINKE SEITE ";anz * ko1(1) + xo * ko1(2) + yo * ko1(3);" = RECHTE SEITE ";y1
PRINT "LINKE SEITE ";xo * ko1(1) + xx * ko1(2) + xy * ko1(3);" = RECHTE SEITE ";xy1
PRINT "LINKE SEITE ";yo * ko1(1) + xy * ko1(2) + yy * ko1(3);" = RECHTE SEITE ";yy1
AR = 0
de = 0
FOR i = 1 TO anz
  AR = AR + ((x(i) - (x1(i) - (koo(2) * x(i) + koo(3) * y(i) + koo(1)))) / COS(do)) ^ 2
  de = de + (y(i) - (y1(i) - (ko1(2) * x(i) + ko1(3) * y(i) + ko1(1)))) ^ 2
NEXT i
an = anz - 3
IF an = 0 THEN
  an = 1
ENDIF
s1 = SQR(AR / an) / fo
s2 = SQR(de / an) * 15 / fo
PRINT AT(1,15);"MITTL. FEHLER PLATTENKONSTANTEN:"
PRINT AT(1,16);"MITTLERER FEHLER OBJEKT IN REKTASZENSION: ";s1;" ZEITSEK."
PRINT AT(1,17);"MITTLERER FEHLER OBJEKT IN DEKLINATION..: ";s2;" BOGENSEK."
PRINT AT(1,24);"TASTE >W<"
REPEAT
UNTIL UPPER$(INKEY$) = "W"
RETURN
PROCEDURE elim
FOR j=1 TO n-1     //GAUSS ELIMINATION
  nr = j
  no = ABS(p(j,j))
  FOR i = j + 1 TO n    STEP i //ZEILENPIVOT
    noo = ABS(p(i,j))
    EXIT IF (noo - no) < 0
    no = noo
    nr = i
  NEXT i
  IF nr = j THEN
    GOTO jum1
  ENDIF
  FOR i = j TO m + 1
    no = p(nr,i)
    p(nr,i) = p(j,i)
    p(j,i) = no
  NEXT i
  jum1:
  FOR i = j + 1 TO m + 1   STEP i //ELIMINATION
    p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
  NEXT i
  FOR i = j + 1 TO n
    FOR k = j + 1 TO m + 1
      p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
    NEXT k
  NEXT i
NEXT j
ko(n)=p(n,n+1)/p(n,n)  //RÜCKSUBSTITUTION
FOR j = n - 1 TO 1 STEP -1
  ko(j) = p(j,n + 1)
  FOR i = j + 1 TO n
    ko(j) = ko(j) - p(j,i) * ko(i)
  NEXT i
NEXT j
RETURN
PROCEDURE nut
REM DELAUNAY-ELEMENTE
d = FN r(5.198468 + 7771.37714 * t)
ll = FN r(6.24006 + 628.3019555 * t)
l = FN r(2.3555482 + 8328.691422 * t)
f = FN r(1.627903 + 8433.46615813 * t)
af = FN r(2.182438 - 33.757045 * t)
REM NUTATION IN LÄNGE
nu = -172000 * SIN(af) + 2060 * SIN(2 * af)  - 1320 * SIN(2 * f - 2 * d + 2 * af) + 1430 * SIN(ll)
nu = nu / 10000
REM NUTATION IN SCHIEFE
nu1 = 92025 * COS(af) - 895 * COS(2 * af) + 5740 *  COS(2 * f - 2 * d + 2 * af) + 220 * COS(ll + 2 * f - 2 * d + 2 * af)
nu1 = nu1 / 10000
f7=0.409092804-0.00022696552*t //MITTLERE EKLIPTIKSCHIEFE
ec=f7+RAD(nu1/3600) //WAHRE EKLIPTIKSCHIEFE
REM lms,ms,ls = geometr. mittl. Länge der Sonne. mittl. Anomalie der Sonne, geometr. wahre L„nge der Sonne
lms = FN r(4.8951+ 628.33198 * t)
ms = FN r(6.24006 + 628.3019553261 * t)
c = 0.03342 * SIN(ms) + 0.00035 * SIN(2 * ms)
l = FN r(lms + c)
v = FN r(ms + c)
REM ds, ars = Deklin. und Rektaszension der Sonne ¥quinoktium des Datums JD
ds=ASIN(SIN(ec)*SIN(l))  //Deklin. Sonne
ys = SIN(l) * COS(ec)
xs = COS(l)
r1 = SQR(xs ^ 2 + ys ^ 2)
x1 = xs / r1
y1 = ys / r1
ars=FN r(ATN(y1/(1+x1))*2) //Rektaszension Sonne
e=0.01670862-0.000042037*t  //Exentrizität
pe = RAD(102.937 + 0.71953 * t)
rs = 10 ^ (((3040 - 15 * t) + (-727600 + 1810 * t) * COS(ms) + (-9090 + 50 * t) * COS(2 * ms)) / 100000000)
RETURN
PROCEDURE appapos
d1 = dek(i)
a1 = ar(i)
t2 = (jdbeo - jdep) / 36525
IF ep$ = "J" THEN
  GOSUB praez
ELSE
  t2 = (jdbeo - jdep) / 36524.2198782
  GOSUB praez1
ENDIF
GOSUB reduk
dek(i) = d + ded + dpa + dnu + dab + di
ar(i) = FN r(AR + ard + apa + anu + aab + ai)
RETURN
PROCEDURE app
d = dekap
AR = arap
p = 0
GOSUB reduk
dekm = dekap - (dpa + ded + dnu + dab + di)
arm = FN r(arap - (apa + ard + anu + aab + ai))
REM ----- PRÄZESSION ----------
t2 = (jdep - jdbeo) / 36525
d1 = dekm
a1 = arm
IF ep$ = "J" THEN
  GOSUB praez
ELSE
  t2 = (jdep - jdbeo) / 36524.2198782
  GOSUB praez1
ENDIF
RETURN
PROCEDURE praez
REM ----- PRÄZESSION FK5 ----------
to = (jdep - 2451545) / 36525
w1 = RAD((2306.22 * t2) / 3600)
w2 = RAD((2306.22 * t2) / 3600)
w3 = RAD((2004.31* t2) / 3600)
d = ASIN(SIN(w3) * COS(d1) * COS(a1 + w1) + COS(w3) * SIN(d1))
x = (COS(w3) * COS(d1) * COS(a1 + w1) - SIN(w3) * SIN(d1)) / COS(d)
y = (COS(d1) * SIN(a1 + w1)) / COS(d)
AR = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2 + w2)
RETURN
PROCEDURE praez1
REM ----- PRÄZESSION FK4----------
to = (jdep - 2433282.423459) / 36524.2198781
w1 = RAD((2304.95 * t2) / 3600)
w2 = RAD((2304.95 * t2) / 3600)
w3 = RAD((2004.26 * t2 ) / 3600)
d = ASIN(SIN(w3) * COS(d1) * COS(a1 + w1) + COS(w3) * SIN(d1))
x = (COS(w3) * COS(d1) * COS(a1 + w1) - SIN(w3) * SIN(d1)) / COS(d)
y = (COS(d1) * SIN(a1 + w1)) / COS(d)
AR = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2 + w2)
RETURN
PROCEDURE reduk
REM -------- LICHTABLENKUNG ----------------
REM elo = Elongationswinkel bzw. Winkeldistanz Stern-Sonne.
abl = RAD(0.00407 / 3600)
elo = ACOS(SIN(ds) * SIN(d) + COS(ds) * COS(d) * COS(AR - ars))
ard = abl * COS(ds) * SIN(AR - ars) / (1 - COS(elo) * COS(d))
ded = abl * (SIN(d) * COS(ds) * COS(AR - ars) - COS(d) * SIN(ds)) / (1 - COS(elo))
REM ---------- JÄHRLICHE PARALLAXE  ----------
apa = RAD((rs * p * (COS(AR) * COS(ec) * SIN(l) - SIN(AR) * COS(l)) * (1 / COS(d))) / 3600)
dpa = RAD((rs * p * (COS(d) * SIN(ec) * SIN(l) - COS(AR) * SIN(d) * COS(l) - SIN(AR) * SIN(d) * COS(ec) * SIN(l))) / 3600)
REM ---------- NUTATION --------------------
anu = (COS(ec) + SIN(ec) * SIN(AR) * TAN(d)) * RAD(nu / 3600) - COS(AR) * TAN(d) * RAD(nu1 / 3600)
dnu = (SIN(ec) * COS(AR) * RAD(nu / 3600) + SIN(AR) * RAD(nu1 / 3600))
REM --------- JÄHRL. ABERRATION (FIXSTERNABERRATION) ------
aab = -k1 * ((COS(AR) * COS(l) * COS(ec) + SIN(AR) *  SIN(l)) / COS(d)) + e * k1 * ((COS(AR) * COS(pe) * COS(ec) + SIN(AR) *  SIN(pe)) / COS(d))
dab=-k1*(COS(l)*COS(ec)*(TAN(ec)*COS(d)-SIN(AR)*SIN(d))+COS(AR)*SIN(d)*SIN(l))+e*k1*(COS(pe)*COS(ec)*(TAN(ec)*COS(d)-SIN(AR)*SIN(d))+COS(AR)*SIN(d)*SIN(pe))
REM ------- TÄGL. ABERRATION -----
di = RAD(-0.319 / 3600) * p1 * COS(br) * SIN(osz - AR) * SIN(d)
ai = RAD(-0.319 / 3600) * ((p1 * COS(br) * COS(osz - AR)) / COS(d))
RETURN
PROCEDURE sig
k = 0
vv = 0
FOR i = 1 TO ns
  k = k + n(i)
NEXT i
mw=k/ns  //ARITHMERTISCHER MITTELWERT
FOR i = 1 TO ns
  vv=vv+(n(i)-mw)^2 //FEHLERQUADRATSUMME
NEXT i
IF ns > 1 THEN
  sig=SQR(vv/(ns-1)) //STANDARDABWEICHUNG
  mf=SQR(vv/(ns*(ns-1))) //MITTL. FEHLER DES MITTELSWERTES
ENDIF
RETURN
PROCEDURE osz
REM ORTSSTERNZEIT
sz = 6.697374558333 + 0.05133690722222 * t1
sz1 = 2400 * t1
sz1 = sz1 - INT(sz1 / 24) * 24
sz = sz + sz1
sz = sz - INT(sz / 24) * 24
sz = sz + ut * 1.002737909 + lgeo / 15 + ((nu * COS(ec)) / 15) / 3600
sz = sz - INT(sz / 24) * 24
osz = RAD(sz * 15)
RETURN
PROCEDURE conv
REM astrometrisch B1950/FK4 zu astrometrisch J2000/FK5
x = COS(dj) * COS(arj)
y = COS(dj) * SIN(arj)
z = SIN(dj)
REM Subktraktion der E-Terme
x1 = x - (-1.6E-06) + (x * (-1.6E-06)) * x
y1 = y - (-3.2E-07) + (y * (-3.2E-07)) * y
z1 = z - (-1.4E-07) + (z * (-1.4E-07)) * z
xo = 0.99993 * x1 - 0.011181 * y1 - 0.00486 * z1
yo = 0.01118 * x1 + 0.99994 * y1 - 0.00003 * z1
zo = 0.00486 * x1 - 0.00003 * y1 + 0.99999 * z1
t = (jdbeo - 2433282.423459) / 36525
x = xo + ((-0.00265 * x1 - 1.154 * y1 + 2.1111 * z1) / 1000000) * t
y = yo + ((1.1541 * x1 - 0.0129 * y1 + 0.0236 * z1) / 1000000) * t
z = zo + ((-2.1113 * x1 - 0.0056 * y1 + 0.01026 * z1) / 1000000) * t
ro = SQR(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)
d = ASIN(z / ro)
x = x / (ro * COS(d))
y = y / (ro * COS(d))
AR = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)
RETURN
PROCEDURE conv1
REM astrometrisch J2000/FK5 zu astrometrisch B1950/FK4
x = COS(dj) * COS(arj)
y = COS(dj) * SIN(arj)
z = SIN(dj)
xo = 0.99993 * x + 0.01118 * y + 0.00486 * z
yo = -0.01118 * x + 0.99994 * y - 0.00003 * z
zo = -0.00486 * x - 0.00003 * y + 0.99999 * z
t = (jdbeo - 2451545) / 36525
x = xo + ((-0.00265 * x - 1.154 * y + 2.1111 * z) / 1000000) * t
y = yo + ((1.1541 * x - 0.0129 * y + 0.0236 * z) / 1000000) * t
z = zo + ((-2.1113 * x - 0.0056 * y + 0.01026 * z) / 1000000) * t
REM Addition der E-Terme
x1 = x + (-1.63E-06) - (x * (-1.63E-06)) * x
y1 = y + (-3.2E-07) - (y * (-3.2E-07)) * y
z1 = z + (-1.4E-07) - (z * (-1.4E-07)) * z
ro = SQR(x1 ^ 2 + y1 ^ 2 + z1 ^ 2)
d = ASIN(z1 / ro)
x1 = x1 / (ro * COS(d))
y1 = y1 / (ro * COS(d))
AR = FN r(ATN(y1 / (1 + x1)) * 2)
RETURN

Bahnbestimmung der Planeten, Asteroiden, Kometen und Erdsatelliten.  Die Bahnberechnung eines Kometen oder Planetoiden (bei Ersatelliten sind Beobachtungen von 2-3 Stationen notwendig) erfolgt nach Eingabe der 3 Positionsbestimmungen (t1,t2,t3).  Bei Kleinplaneten sollte der Beobachtungszeitraum über insgesamt 3 bis 7 Wochen auseiannderliegen,  bei Kometen  - falls nahe der Sonne - auch kürzer. Die Ortsbestimmung t2 sollte möglichst nahe der Zeitraummitte liegen. Die Beobachtung von Kometen und Planetoiden um die Oppositionszeit ist  günstiger, da das Gestirn um Mitternacht den höchsten Stand über dem  Horizont einnimmt.
Klassische Bahnelemente (Äquinoktium J2000) aus 3  Ortsbestimmungen ergibt : Große Bahnhalbache a = 2.765713 AE, Exentrizität e =  0.0784195, Perihelargument  z = 72.0568°,  aufsteigender Bahnknoten  W  = 80.69281°, Bahnneigung gegen die Ekliptik i = 10.60626°, mittlere Anomalie M =  202.76364°, tägl. Begwegung n = 0.21428582°, E (Epoche) =  1988,9,5.045255 TDT, Periheldurchgang T = 1986,2,1.803826 TDT,  Umlaufzeit U = 4.5994 Jahre. Wie diese Bahnelemente zeigen, handelt es sich um den von Mönch  Giuseppe Piazzi in der Neujahresnacht am 1.1.1801 in Palermo  erstentdeckten Kleinplaneten,  dem er den Namen Ceres verlieh.
Die genaue Bahnlage (Äquinoktium des Datums) im  Sonnensystem (mit Positionsmarkierung auf der Bahn) wird danach  wiedergegeben - mit heliozentrischer und geozentrischer (auf Sonne und  Erde bezogenen) tab. Positionswerten. Nach obigen Bahnelementen berechnete Position am 5.9.88, 1h4m14s  UT: b = -10.6014°, l = 351.4994°, r = 2.96799 AE (= auf die Sonne bezogene, geometrische heliozentrische  ekl. Br., Länge und Entfernung, mittleres Äquinoktium des Datums); b = -15.789°, k = 357.3014° , Ê = 2.0059 AE (= auf die Erde bezogene, astrometrische topozentrische  ekliptikale Breite, Länge und Entfernung, Äquinoktium J2000); a= 0h15m52.11s, d = -15°31'59.7'', Ê = 2.0059 AE (auf die Erde bezogen topozentrische astrometrische  Koordinaten, Rektaszension, Deklination und Entfernung, Äquinoktium  J2000).
Die  Objekte können nach astrometrischen Koordinaten (= mittlerer Ort zur  Epoche mit Lichtzeitkorrektur) in Sternatlanten (z. B. Atlas  Stellarum oder Falkauer  Atlas u.a.) derselben Epoche (mittleres Äquinoktium B1950 oder J2000) eingezeichnet werden.
Daneben werden sog. scheinbare Koordinaten angegeben,  die den Gestirnsort bezeichnen, wie er am Himmel erscheint (ohne  Refraktion), den unmittelbaren mit Meßinstrumenten (Theodoliten  u.a.) oder Fernrohrteilkreisen einstellbaren genauen Ort zu erhalten.
Sämtliche  auf dem Himmelsglobus wiedergegebene Positionen stets in scheinbaren Koordinaten, Äquinoktium des  Datums. Die heliozentrische ekliptikale Länge und Breite  (l, b) ist der auf die Sonnenmitte bezogene geometrische Gestirnsort (= mittleres Äquinoktium des Datums ohne Lichtzeitberücksichtigung). Die  Orts- und Bahnbestimmung von Planeten und Kometen ist analog durchzuführen.



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